1 закон Кирхгофа и 2 своими словами: правила для чайников

Кто такой Кирхгоф

Родился 12 марта 1824 года в Кенигсберге. Учился в Кенигсбергском университете. В 1848 г защитил докторскую диссертацию в Берлинском университете. Здесь он стал учителем. Затем ученый начал преподавать в Польском университете Вроцлава, а затем в Гейдельбергском университете.

Интерес Кирхгофа был в основном связан с изучением электрических цепей, принципов протекания тока. Таким образом, физик открыл правила, получившие свое название от правил Кирхгофа. Они по-прежнему незаменимы в электротехнике, машиностроении, в последовательных и параллельных цепях.

Изучая поглощение и излучение света, Кирхгоф заинтересовался анализом спектра пламени при добавлении к нему различных элементов. Так впервые был использован спектральный анализ, открытый Кирхгофом и Бузеном.

Кроме того, Роберт Кирхгоф занимался теорией поглощения, испускания теплового излучения. Он первым рассмотрел понятие «абсолютно черное тело». Его интересовало множество вопросов, в том числе дифракция Френеля, деформация, движение тел.

Отметим, что Кирхгоф пополнил ряды немецких ученых в девятнадцатом веке, когда стране, находившейся на пороге промышленной революции, требовались новейшие технологии. Ученые искали решения, которые могли бы ускорить развитие отрасли. В частности, они активно исследовали сферу электричества, так как понимали, что в будущем она найдет широкое применение. В то время проблема заключалась не в том, как составить электрические схемы из возможных элементов, а в выполнении математических расчетов. Здесь и появились законы, сформулированные физиком. Они очень помогли.

Определения и понятия

Ясность требует немедленного уточнения. Хотя во многих технических текстах используется слово «закон», на самом деле это правило. В чем разница? Закон основан на фундаментальных истинах, фактах, правило приносит более абстрактное понимание. Чтобы лучше понять это, давайте взглянем на основы этого метода.

Из-за сложности расчетов лучше всего использовать его там, где схема имеет узлы и контуры. Узел — это место, где соединяются более двух цепей. Это как взять три или более общих ниток и связать их вместе. Цикл — это замкнутый цикл, который включает три или более таких узла.

Отдельная ветвь может содержать сколько угодно резисторов, что означает нагрузки с активным сопротивлением. Все они объединены в общий резистор, так как это упрощает задачу. Кроме того, в схеме могут присутствовать один или несколько источников питания, также объединенных в один элемент, или они могут не существовать. Таким образом, цепь будет состоять только из сопротивления.

Контур всегда начинается и заканчивается одним и тем же узлом. Поскольку узлы обозначаются латинскими или русскими буквами, в уравнении будет на одну букву больше, чем сами связи. Например, секция состоит из узлов A, B, C, D. Тогда обозначение этой петли будет следующим: A, B, C, D, A. На самом деле отсчет можно начинать с любой буквы цикл, например C, D, A, B, C, только в первой версии проще не запутаться.

Как уже было сказано, ветвь — это отрезок электрической цепи, в котором направление движения заряда происходит в одном направлении. Ветви, сходящиеся к узлу, имеют разное направление токов. Контур может состоять из нескольких внутренних контуров, ветви и узлы которых также принадлежат этому контуру. Сам закон Кирхгофа по существу содержит два правила, относящихся к узлу и границе. Самое главное и сложное — составить уравнения, учитывающие все составляющие этой формулы.

Законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть там, где имеется несколько ветвей и разные источники электромагнитных полей, также существует сложное распределение токов. Однако, зная значения всех электромагнитных полей и сопротивлений резистивных элементов в цепи, мы можем очистить значения этих токов и их направление в любой цепи цепи, используя первый и второй закон Кирхгофа.

Законы Кирхгофа иногда называют правилами Кирхгофа, особенно в более ранней литературе.

Итак, для начала вспомним суть первого и второго законов Кирхгофа, а затем рассмотрим примеры расчета токов и напряжений в электрических цепях.

Первый закон Кирхгофа

Формула № 1: сумма всех токов, текущих в узел, равна сумме всех токов, исходящих из узла.

Формулировка № 2: алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Здесь ток I1 — это ток, текущий в узел, а токи I2 и I3 — это токи, вытекающие из узла. Итак, применив рецептуру №1, можно написать:

I1 = I2 + I3 (1)

Для подтверждения действительности формулировки нет. 2 перенесем токи I2 и I3 в левую часть выражения (1), получив:

I1 — I2 — I3 = 0 (2)

Знаки минус в выражении (2) и означают, что токи покидают узел.

Знаки входящего и выходящего токов могут быть взяты произвольно, однако, как правило, входящие токи всегда принимаются со знаком «+», а исходящие токи со знаком «-» (например, как это было в выражение (2)).

А теперь о сложном — простым языком.

Итак, как уже было сказано, первый закон Кирхгофа гласит, что сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Есть и другая формулировка, похожая по смыслу: сумма значений токов, входящих в узел, равна сумме значений токов, выходящих из узла.

Давайте подробнее рассмотрим сказанное. Узел — это соединение трех и более проводов.

Ток, текущий в узел, указывается стрелкой, указывающей на узел, а ток, текущий из узла, указывается стрелкой, указывающей от узла.

Согласно первому закону Кирхгофа

Мы условно присвоили всем входящим токам знак «+», а всем выходящим — знак «-». Хотя это не принципиально.

первый закон Кирхгофа согласуется с законом сохранения энергии, поскольку электрические заряды не могут накапливаться в узлах, поэтому заряды, поступающие в узел, покидают его.

Простая схема, состоящая из блока питания напряжением 3 В (две батареи соединены последовательно по 1,5 В каждая), трех резисторов разной мощности: 1 кОм, 2 кОм, 3,2 кОм (резисторы любой другой мощности). Токи будем измерять мультиметром в точках, обозначенных амперметром.

Если сложить показания трех амперметров с учетом знаков, то по первому закону Кирхгофа мы должны получить ноль:

I1 — I2 — I3 = 0.

Либо показания первого амперметра А1 будут равны сумме показаний второго амперметра А2 и третьего амперметра А3.

Второй закон Кирхгофа

Формулировка: алгебраическая сумма ЭДС, действующей в замкнутой цепи, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этой цепи.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что и значение ЭДС, и значение падения напряжения на элементах могут быть как «+», так и «-». В этом случае знак можно определить по следующему алгоритму:

1. Выберите направление обхода контура (два варианта, по часовой стрелке или против часовой стрелки).

2. Произвольно выбрать направление токов через элементы схемы.

3. Размещаем знаки ЭМП и напряжений, падающих на элементы по правилам:

• ЭДС, создающие в цепи ток, направление которого совпадает с направлением байпаса цепи, регистрируются знаком «+», в противном случае регистрируются ЭДС со знаком «-».
• напряжения, которые падают на элементы схемы, фиксируются знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы, совпадает по направлению с байпасом цепи, в противном случае напряжения записываются знаком «-».

Например, рассмотрим схему, показанную на рисунке 3, и напишем выражение в соответствии со вторым законом Кирхгофа, запустив схему по часовой стрелке и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая схема, поясняющая второй закон Кирхгофа.

E1- E2 = -UR1 — UR2 или E1 = E2 — UR1 — UR2 (3)

И снова в целом — простым языком.

Второй закон Кирхгофа воспринимается начинающими радиолюбителями намного сложнее, чем первый. Однако теперь вы увидите, что это довольно просто и понятно, если вы объясните это обычными словами, а не заумно.

Второй закон Кирхгофа, упрощая его, гласит: сумма ЭДС в замкнутой цепи равна сумме падений напряжения

E = ΣIR

Разберем простейший случай этого закона на примере батареи 1,5 В и резистора.

Поскольку имеется только один резистор и одна батарея, ЭДС батареи 1,5 В будет равна падению напряжения на резисторе.

Если мы возьмем два резистора одинакового номинала и подключим их к батарее, то 1,5 В будет равномерно распределено между резисторами, то есть 0,75 В.

Если мы снова возьмем три резистора одинакового номинала, например, по 1 кОм каждый, то падение напряжения на них будет 0,5 В.

Формула запишет это следующим образом:

Рассмотрим условно более сложный пример. Добавим в последнюю схему еще один блок питания E2, с напряжением 4,5 В.

Обратите внимание, что оба источника подключены последовательно и согласованно, т.е плюс одной батареи соединен с минусом другой батареи, или наоборот. При таком способе подключения гальванических элементов их электродвижущие силы складываются: E1 + E2 = 1,5 + 4,5 = 6 В, а падение напряжения на каждом резисторе составляет 2 В. Формула описывает это следующим образом:

И последний отличительный вариант, который мы рассмотрим в этой статье, предполагает последовательное встречное включение гальванических элементов. При таком подключении источника питания меньшее значение ЭДС вычитается из большего значения ЭДС. Таким образом, на резисторы R1… R3 будет действовать разность E1 — E2, т.е. 4,5 — 1,5 = 3 В, — по одному вольту на каждый резистор.

Второй закон Кирхгофа работает независимо от количества источников питания и нагрузок, а также независимо от их положения в цепи. Нелишним будет собрать рассмотренные схемы и мультиметром произвести соответствующие измерения.

Законы Кирхгофа применимы как к постоянному, так и к переменному току.

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа

Давайте теперь посмотрим на вариант сложной цепочки и на то, как применить законы Кирхгофа на практике.

Так, на рисунке 4 представлена ​​сложная схема с двумя источниками ЭДС величиной E1 = 12 В и E2 = 5 В, с внутренним сопротивлением источников r1 = r2 = 0,1 Ом, работающих на полную нагрузку R = 2 Ом. Как будут распределяться токи в этой цепи и какие у них значения, нам необходимо выяснить.

Теперь, согласно первому закону Кирхгофа для узла A, составим следующее выражение:

Я = I1 + I2,

поскольку I1 и I2 текут в узел A, а ток I покидает его.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешней границы и левой внутренней границы, выбрав направление пересечения по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

E1-MI2 = Ur1 — Ur2 или E1-MI2 = I1 * r1 — I2 * r2

Для левого внутреннего пути:

E1 = Ur1 + UR или E1 = I1 * r1 + I * R

Таким образом, мы получили систему трех уравнений с тремя неизвестными:

I = I1 + I2;

E1-E2 = I1 * r1 — I2 * r2;

E1 = I1 * r1 + I * R.

Теперь подставляем известные нам значения напряжений и сопротивлений в эту систему:

I = I1 + I2;

7 = 0,1I1 — 0,1I2;

12 = 0,1I1 + 2I.

Далее из первого и второго уравнений выразим ток I2

I2 = I — I1;

I2 = I1 — 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Следующий шаг — уравнять первое и второе уравнения и получить систему двух уравнений:

I — I1 = I1 — 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Выразим значение I из первого уравнения

I = 2I1– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

12 = 0,1I1 + 2 (2I1 — 70).

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I1 + 4I1 — 140.

12 + 140 = 4,1I1

I1 = 152 / 4,1

I1 = 37,073 (А)

Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставляем значение

I1 = 37,073 (А) и получаем:

I = 2 * 37,073 — 70 = 4,146 А

Итак, согласно первому закону Кирхгофа, ток I2 = I — I1

I2 = 4,146 — 37,073 = -32,927

Знак минус для тока I2 означает, что мы не выбрали правильное направление тока, то есть в нашем случае ток I2 выходит из узла A.

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать эту схему, например, в программе Multisim.

Для последовательной цепи

Давайте еще раз посмотрим на наш пример последовательной схемы, на этот раз пронумеровав точки на схеме для обозначения напряжений:

Рисунок 1. Демонстрация закона напряжений Кирхгофа в последовательной цепи

Если мы подключим вольтметр между точками 2 и 1, красный провод в точке 2 и черный провод в точке 1, вольтметр будет показывать +45 вольт. Для положительных показаний на дисплеях цифрового счетчика знак «+» обычно не отображается, а скорее подразумевается. Однако для этого урока очень важна полярность показаний напряжения, поэтому я явно покажу положительные числа:

E2-1 = +45 В

Когда напряжение указывается с двойным индексом (символы «2-1» в обозначении «E2-1»), это означает напряжение в первой точке (2), измеренное относительно второй точки (1). Напряжение, обозначенное как «Ecd», будет указывать на напряжение, отображаемое мультиметром с красным проводом в точке «c» и черным проводом в точке «d»: напряжение в точке «c» относительно точки «d».

Рисунок 2. Значение Ecd

Если мы возьмем тот же вольтметр и измерим падение напряжения на каждом резисторе, пройдя по часовой стрелке с красным проводом нашего измерителя в передней точке и черным проводом в задней точке, мы получим следующие показания:

E3-2 = -10 В

E4-3 = -20 В

E1-4 = -15 В

Рисунок 3. Определение напряжений в последовательной цепи

Мы уже должны знать общий для последовательных цепей принцип, согласно которому отдельные падения напряжения складываются в общее приложенное напряжение, но измерение падения напряжения таким способом и уделение внимания полярности (математическому знаку) показаний открывает другой аспект этого принцип: все измеренные напряжения в сумме равны нулю:

E_ {2-1} = +45 В {напряжение в точке 2 относительно точки 1} E_ {3-2} = -10 В {напряжение в точке 3 относительно точки 2} E_ {4-3} = — 20 В {напряжение в точке 4 относительно точки 3} E_ {1-4} = -15 В {напряжение в точке 1 относительно точки 4} 0 В

В приведенном выше примере путь образован следующими точками в следующем порядке: 1-2-3-4-1. Не имеет значения, с чего мы начинаем или в каком направлении идем, когда следуем плану; сумма напряжений по-прежнему будет равна нулю. Чтобы продемонстрировать это, мы можем рассчитать напряжения в контуре 3-2-1-4-3 той же цепи:

E_ {2-3} = +10 В {напряжение в точке 2 относительно точки 3} E_ {1-2} = -45 В {напряжение в точке 1 относительно точки 2} E_ {4-1} = + 15 В {напряжение в точке 4 относительно точки 1} E_ {3-4} = +20 В {напряжение в точке 3 относительно точки 4} 0 В

Этот пример можно прояснить, если мы перепроектируем нашу последовательную схему так, чтобы все компоненты были представлены в виде прямой линии:

Рисунок 4. Изменение представления последовательной цепочки

это всегда одна и та же схема секвенирования, только с немного перераспределенными компонентами. Обратите внимание на полярность падений напряжения на резисторах по отношению к напряжению батареи: напряжение батареи отрицательное слева и положительное справа, в то время как все падения напряжения на резисторах ориентированы в противоположном направлении (положительное слева и положительный справа) отрицательный справа). Это связано с тем, что резисторы сопротивляются потоку электрического заряда, проталкиваемого батареей. Другими словами, «толчок», прикладываемый резисторами против потока электрического заряда, должен быть в направлении, противоположном источнику электродвижущей силы.

Здесь мы видим, что цифровой вольтметр покажет на каждом компоненте в этой цепи, если черный провод находится слева, а красный провод — справа:

Рисунок 5. Измерение напряжений в последовательной цепи

Если бы мы взяли тот же вольтметр и измерили напряжение между комбинациями компонентов, начиная с одного R1 слева и поднимаясь вверх по всей цепочке компонентов, мы бы увидели, что напряжения складываются алгебраически (вплоть до нуля):

Рисунок 6. Измерение суммы напряжений в последовательной цепи

Тот факт, что последовательные напряжения складываются, не должен быть секретом, но мы заметили, что полярность этих напряжений очень важна для того, как эти значения складываются. При измерении напряжения между резисторами R1 — R2 и R1 — R2 — R3 (я использую символ с двойным тире «-», чтобы указать последовательное соединение между резисторами R1, R2 и R3), давайте посмотрим, как измеряются большие напряжения (даже если они отрицательные.), потому что полярности одиночных падений напряжения имеют одинаковую ориентацию (больше влево, меньше вправо).

Сумма падений напряжения на R1, R2 и R3 составляет 45 вольт, что соответствует выходному напряжению батареи, за исключением того, что полярность напряжения батареи (минус слева, больше справа) противоположна падению напряжения на резисторах, поэтому при измерении напряжения по всей цепочке компонентов мы получаем 0 вольт.

Тот факт, что мы должны получать ровно 0 вольт по всей плате, тоже не должен быть секретом. Глядя на диаграмму, мы видим, что крайняя левая часть линии (левая сторона R1, точка номер 2) напрямую связана с крайней правой частью линии (правая сторона батареи, точка номер 2), что необходимо для завершения схемы.

Поскольку эти две точки соединены напрямую, они электрически связаны друг с другом. Следовательно, напряжение между этими двумя электрически общими точками должно быть нулевым.

Для параллельной цепи

Правило Кирхгофа напряжения (второй закон Кирхгофа) обычно работает для любой конфигурации цепи, а не только для простых последовательных цепей. Обратите внимание, как это работает для следующей параллельной цепи:

Рисунок 7. Параллельная схема резисторов

В параллельной схеме напряжение на каждом резисторе равно напряжению питания: 6 вольт. Складывая напряжения по циклу 2-3-4-5-6-7-2, получаем:

E_ {3-2} = 0 В {напряжение в точке 3 относительно точки 2} E_ {4-3} = 0 В {напряжение в точке 4 относительно точки 3} E_ {5-4} = — 6 В {напряжение в точке 5 по отношению к точке 4} E_ {6-5} = 0 В {напряжение в точке 6 по отношению к точке 5} E_ {7-6} = 0 В {напряжение в точке 7 с относительно точки 6} E_ {2-7} = +6 V {напряжение в точке 2 относительно точки 7} E_ {2-2} = 0 V

Обратите внимание, что конечное (общее) напряжение обозначено E2-2. Поскольку мы начали наш пошаговый путь по контуру в точке 2 и закончили в точке 2, алгебраическая сумма этих напряжений будет такой же, как напряжение, измеренное между той же точкой (E2-2), что, конечно же, должно быть нулевым.

Независимо от топологии цепи

Тот факт, что эта схема является параллельной, а не последовательной, не имеет ничего общего с правомерностью закона Кирхгофа по напряжению. В этом отношении схема может быть «черным ящиком» (конфигурация его компонентов полностью скрыта от нашего взгляда) с рядом открытых клемм, между которыми мы можем измерить напряжение — и правило Кирхгофа по напряжению будет по-прежнему выполняться:

Рисунок 8. Справедливость закона Кирхгофа для напряжений независимо от топологии схемы

Попробуйте пересечь схему на приведенной выше диаграмме в любом порядке, начиная с любого выхода и возвращаясь к исходному выходу, и вы обнаружите, что алгебраическая сумма напряжений всегда равна нулю.

Кроме того, «схема», которую мы строим для второго закона Кирхгофа, даже не обязательно должна быть реальным путем прохождения тока в прямом смысле этого слова. Все, что нам нужно сделать, чтобы соответствовать правилу напряжения Кирхгофа, — это начинать и заканчивать в одной и той же точке цепи, считая падения напряжения и полярности между точками. Рассмотрим следующий абсурдный пример, проходя по «петле» 2-3-6-3-2 в той же цепи параллельно включенных резисторов:

Рисунок 9. Параллельная схема резисторов

Для сложной цепи

Закон напряжений Кирхгофа может использоваться для определения неизвестного напряжения в сложной цепи, в которой известны все другие напряжения вдоль определенного «контура». В качестве примера возьмем следующую сложную схему (на самом деле две цепи последовательно соединены проводом внизу):

Рис. 10. Правило напряжений Кирхгофа в сложной схеме

Для простоты значения сопротивления опущены, а просто указано падение напряжения на каждом резисторе. Две последовательные цепи имеют общий провод (7-8-9-10 провод), что позволяет измерять напряжение между двумя цепями. Если бы мы хотели определить напряжение между точками 4 и 3, мы могли бы приравнять правило Кирхгофа к напряжению между этими точками как неизвестное:

MI4-3 + MI9-4 + MI8-9 + MI3-8 = 0

МИ4-3 + 12 + 0 + 20 = 0

MI4-3 + 32 = 0

E4-3 = -32 В

Рис. 11. Правило напряжений Кирхгофа в сложной схеме. Напряжение между точками 4 и 3
Рис. 12. Правило напряжений Кирхгофа в сложной схеме. Напряжение между точками 9 и 4
Рис. 13. Правило напряжений Кирхгофа в сложной схеме. Напряжение между точками 8 и 9
Рис. 14. Правило напряжений Кирхгофа в сложной схеме. Напряжение между точками 3 и 8

Обходя петлю 3-4-9-8-3, мы регистрируем падения напряжения, как это делал бы цифровой вольтметр, измеряя красным проводом в одной точке спереди и черным проводом в точке позади, когда мы продвигаемся по петле., Следовательно, напряжение в точке 9 относительно точки 4 составляет положительные (+) 12 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 9, а «черный провод» — в точке 4.

Напряжение в точке 3 по отношению к точке 8 составляет положительные (+) 20 вольт, потому что «красный провод» находится в точке 3, а «черный провод» — в точке 8. Напряжение в точке 8 по отношению к точке 9 равно очевидно, ноль, так что эти две точки электрически являются общими.

Наш окончательный ответ для напряжения в точке 4 относительно точки 3 — отрицательное (-) 32 вольта, что говорит нам, что точка 3 на самом деле положительна по отношению к точке 4, что показал бы цифровой вольтметр с красным проводом в точке. 4 и черный провод на шаге 3:

Рис. 15. Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 4 и 3

Другими словами, первоначальное расположение наших «тестовых проводов» в этой задаче правила напряжений Кирхгофа было «перевернуто». Если бы мы составили наше второе уравнение закона Кирхгофа, начиная с E3-4 вместо E4-3, минуя тот же цикл с противоположной ориентацией наконечника, окончательный ответ был бы E3-4 = +32 вольт:

Рис. 16. Правило напряжений Кирхгофа в сложной цепи. Напряжение между точками 3 и 4

важно понимать, что ни один из подходов не является «неправильным». В обоих случаях мы приходим к правильной оценке напряжения между двумя точками 3 и 4: точка 3 положительна по отношению к точке 4, а напряжение между ними составляет 32 вольта.

Для магнитной цепи

Также возможно использование независимых уравнений при расчете магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для расчета параметров магнитных потоков и сил намагничивания.

Рис. 4. Магнитные цепи

В частности: ∑Ф = 0.

То есть для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всех возможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равна нулю.

Сформулируем второе правило для сил намагничивания F: «В замкнутой магнитной цепи алгебраическая сумма сил намагничивания равна сумме магнитных напряжений». Это утверждение выражается формулой: ∑F = ∑U или ∑Iω = ∑HL, где ω — количество витков, H — напряженность магнитного поля, символ L указывает длину центральной линии магнитного поля схема. (Принято считать, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

Второе правило, используемое для расчета магнитных цепей, — не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

Примечание. При составлении уравнений с использованием формул, полученных из правил Кирхгофа, необходимо сначала определить положительное направление потоков, действующих в ответвлениях, путем сравнения их с направлением обхода существующих цепей.

При совпадении векторов магнитного потока с направлениями байпаса (на некоторых участках) падение напряжения на этих ветвях принимается со знаком «+», а на противоположных — со знаком « – ».

Значение правил Кирхгофа для электротехники

Правила Кирхгофа являются дополнением к другим законам. Основная трудность — найти пакеты, так как их границы не всегда легко найти. После ограничения нужной области нужно выделить все неизвестные. Написать домашнее задание уже относительно легко. Они решают как обычные уравнения.

Поэтому, несмотря на первые трудности, эти правила еще проще составить и решить, какие использовать, например, закон Ома. Поэтому они широко используются в электротехнике.